Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O為底面中心，E是AB的中點，A₁O=1，A₁B=AB=AA₁=

2

．
（1）證明：AD₁∥平面B₁DE；
（2）求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結BD₁，DB₁，交于點M，連結ME，由已知得ME∥AD₁，由此能證明AD₁∥平面B₁DE．
（2）由已知A₁O是三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高，由此能求出三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積．

解答： （1）證明：連結BD₁，DB₁，交于點M，連結ME，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BDD₁B₁是平行四邊形，
∴M是BD₁中點，又E是AB中點，
∴ME∥AD₁，
∵ME?平面B₁DE，AD₁?平面B₁DE，
∴AD₁∥平面B₁DE．
（2）解：∵四棱錐ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，
O為底面中心，A₁O=1，A₁B=AB=AA₁=

2

，
∴A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O是三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A₁OA中，A₁O=1，
∴三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積V=S_△ABD•A₁O=

1

2

×(

2

)2×1=1．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱柱的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．