Question

6．已知函數f（x）=1-2sin²x在點$（{\frac{π}{4}，f（{\frac{π}{4}}）}）$處的切線為l，則直線l、曲線f（x）以及直線$x=\frac{π}{2}$所圍成的區域的面積為$\frac{π^2}{16}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用二倍角公式化簡函數f（x）的解析式，利用導數求出切線的斜率，然后求出切點的坐標，得出切線的方程，最后根據定積分即可求出直線l、曲線f（x）以及直線x=$\frac{π}{2}$所圍成的區域的面積．

解答 解：由f（x）=1-2sin²x=cos2x，
得f′（x）=-2sin2x．
∴f′（$\frac{π}{4}$）=-2sin$\frac{π}{2}$=-2，
又f（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{2}$=0，
∴直線l的方程為y-0=-2（x-$\frac{π}{4}$），即y=-2x+$\frac{π}{2}$．
如圖：
∴直線l、曲線f（x）以及直線x=$\frac{π}{2}$所圍成的區域的面積為：
${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}（cos2x+2x-\frac{π}{2}）dx$=（$\frac{1}{2}sin2x+{x}^{2}-\frac{π}{2}x$）${|}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$
=$\frac{{π}^{2}}{16}-\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{π^2}{16}-\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，同時考查了定積分，屬于中檔題．