Question

1．已知函數$f（x）=lnx+\frac{m}{x}+3x$．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若對任意的m∈[0，2]，不等式f（x）≤（k+1）x，對x∈[1，e]恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}+3=\frac{{3{x^2}+x-m}}{x^2}$，分①當-m≥0，②當m＞0討論即可；
（2）對?m∈[0，2]，f（x）≤（k+1）x，即$lnx+\frac{m}{x}+3x≤（{k+1}）x$，
又x＞0，即m≤（k+1）x²-3x²-xlnx恒成立，（k+1）x²-3x²-xlnx≥2，可得$k≥\frac{2}{x^2}+\frac{lnx}{x}+2$．
令$g（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{2}{x^2}+2$，利用導數求出最大值即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{x^2}+3=\frac{{3{x^2}+x-m}}{x^2}$，
∵x＞0，所以①當-m≥0，即m≤0時，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
②當m＞0時，由f'（x）=0，得${x_1}=\frac{{-1-\sqrt{1+12m}}}{6}＜0$（不符合題意，舍），
${x_2}=\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}＞0$，所以由f'（x）＞0得$x＞\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}$，由f'（x）＜0得$0＜x＜\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}$，
∴f（x）在（0，$\frac{-1+\sqrt{1+12m}}{6}$）上單調遞減，在$（{\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}，+∞}）$上單調遞增．
綜上所述，當m≤0時，f（x）的遞增區間為（0，+∞），無遞減區間；
當m＞0時，f（x）的遞增區間為 $（{\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}，+∞}）$，遞減區間為$（{0，\frac{{-1+\sqrt{1+12m}}}{6}}）$．
（2）對?m∈[0，2]，f（x）≤（k+1）x，即$lnx+\frac{m}{x}+3x≤（{k+1}）x$，
又x＞0，∴m≤（k+1）x²-3x²-xlnx恒成立，∴（k+1）x²-3x²-xlnx≥2，∴$k≥\frac{2}{x^2}+\frac{lnx}{x}+2$．
令$g（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{2}{x^2}+2$，則$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}-\frac{4}{x^2}=\frac{x-lnx-4}{x^3}$，
又x∈[1，e]時，xlnx≥0，x＜4，∴x-xlnx-4＜0，
∴g'（x）＜0，∴g（x）在[1，e]上是減函數，
∴k≥g（1）=4，即k∈[4，+∞）．

點評 本題主要考查了利用函數的導數求出函數的單調性以及函數的極值問題，考查了轉化思想，屬于中檔題