Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直底面ABCD，PA=AB=2，E是棱PB的中點．
（1）若AD=2，求B到平面CDE的距離；
（2）若平面ACE與平面CED夾角的余弦值為$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，求此時AD的長為多少？

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出B到平面CDE的距離．
（2）設AD=t，求出平面CDE的法向量和平面ACE的法向量，由平面ACE與平面CED夾角的余弦值為$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，利用向量法能求出AD的長．

解答 解：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直底面ABCD，
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵PA=AB=2，E是棱PB的中點，AD=2，
∴B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，0，1），
$\overrightarrow{DE}$=（1，-2，1），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CB}$=（0，-2，0），
設平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=x-2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
∴B到平面CDE的距離d=$\frac{|\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
解：（2）設AD=t，（t＞0），則D（0，t，0），$\overrightarrow{DE}$=（1，-t，1），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），
設平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=x-ty+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，t），
設平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
∵$\overrightarrow{AC}$=（2，t，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2a+tb=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=a+c=0}\end{array}\right.$，取b=2，得$\overrightarrow{m}$=（-t，2，t），
∵平面ACE與平面CED夾角的余弦值為$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+{t}^{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}•\sqrt{4+2{t}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
則t＞0，解得t=4．故AD的長為4．

點評 本題考查點到直線的距離的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．