Question

15．過雙曲線的一個焦點F₂作垂直干實軸的弦PQ，F₁是另一焦點，若∠PF₁Q=$\frac{π}{2}$，則雙曲線的離心率e等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$+2
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 根據題設條件求出PQ，通過∠PF₂Q=90°，列出方程，推導出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知通徑|PQ|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，|F₁F₂|=2c，|QF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵∠PF₂Q=90°，∴b⁴=4a²c²，
∵c²=a²+b²，∴c⁴-6a²c²+a4=0，∴e⁴-6e²+1=0，
∴e²=3+2$\sqrt{2}$或e²=3-2$\sqrt{2}$（舍去），
∵e＞1，∴e=1+$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 這道題數量間的關系比較繁瑣，推導過程中要多一點耐心．