Question

17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知B≠$\frac{π}{2}$，且3cosC+c•cosB=$\frac{3sinA}{sinB}$
（1）求b的值；
（2）若B=$\frac{π}{3}$，求△ABC周長的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內角和公式消去A，結合正弦定理即可求解b的值．
（2）若B=$\frac{π}{3}$，利用正弦定理把a，c表示出來，轉化為函數問題求解△ABC周長的范圍．

解答 解：由$3cosC+ccosB=\frac{3sinA}{sinB}$
可得：$3cosC+ccosB=\frac{3sin（B+C）}{sinB}$
?3sinBcosC+c•sinBcosB=3sin（B+C）
?3sinBcosC+c•sinBcosB=3sinBcosC+3sinCcosB
?c•sinBcosB=3sinCcosB
∵$B≠\frac{π}{2}$，
∴cosB≠0，
∴c•sinB=3sinC．
正弦定理可得：bsinC=3sinC，
∴b=3
（2）由（1）得b=3，B=$\frac{π}{3}$，
∴0＜A+C$＜\frac{2π}{3}$
正弦定理可得：a=2$\sqrt{3}$sinA，c=2$\sqrt{3}$sinC，
那么：△ABC周長l=3+2$\sqrt{3}$（sinA+sinC）=3$+2\sqrt{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=3$+2\sqrt{3}$[sinA+sin$\frac{2π}{3}$cosA-sinAcos$\frac{2π}{3}$）]=$3+2\sqrt{3}$[$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA]=$3\sqrt{3}$sinA+3cosA+3=6sin（A+$\frac{π}{6}$）+3，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$
sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]
∴△ABC周長的范圍是（6，9]

點評 本題考查了正弦定理和的三角形內角和定理的靈活運用，利用三角函數的有界限求解取值范圍問題．屬于中檔題．