Question

13．某地西紅柿從2月1日起開始上市，通過市場調查，得到西紅柿種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時間t（單位：元）的數據如表：

時間t	50	110	250
種植成本Q	150	108	150

（1）根據上表數據判斷，函數Q=at+b，Q=at²+bt+c，Q=a•b^t，Q=a•log_bt中哪一個適宜作為描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關系？簡要說明理由；
（2）利用你選取的函數，求西紅柿種植成本最低時的上市天數及最低種植成本．

Answer 1

分析 （1）由提供的數據知，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關系函數不可能是單調函數，故選取二次函數Q=at²+bt+c進行描述，將表格所提供的三組數據（50，150），（110，108），（250，150）代入Q，即得函數解析式；
（2）由二次函數的圖象與性質可得，函數Q在t取何值時，有最小值．

解答 解：（1）由提供的數據知，描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關系函數不可能是常數函數，也不是單調函數；而函數Q=at+b，Q=a•b^t，Q=a•log_bt，在a≠0時，均為單調函數，這與表格提供的數據不吻合，
所以，選取二次函數Q=at²+bt+c進行描述．
將表格所提供的三組數據（50，150），（110，108），（250，150）
分別代入可得$\left\{\begin{array}{l}{2500a+50b+c=150}\\{12100a+110b+c=108}\\{62500a+250b+c=150}\end{array}\right.$，通過計算得a=$\frac{1}{200}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=$\frac{425}{2}$
故西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關系函數得到Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$；
（2）Q=$\frac{1}{200}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{425}{2}$=$\frac{1}{200}$（t-150）²+100，
∴t=150（天）時，西紅柿種植成本Q最低，為100元/10kg．

點評 本題考查了二次函數模型的應用，考查利用二次函數的圖象與性質求函數的最值問題，確定函數模型是關鍵．