Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：S_n+S_n+1+S_n+2=6n²-2（n∈N^*）．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）若a₁=a₂=1，求S₅₀．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，根據(jù)條件求出首項(xiàng)和公差，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，得到a_n-1+a_n+a_n+1=12n-6，即可求出S₅₀．

解答： 解：（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
當(dāng)n=1時(shí)，S₁+S₂+S₃=6a₁+4d=4，即3a₁+2d=2，
當(dāng)n=2時(shí)，S₂+S₃+S₄=22，即9a₁+10d=22，
解得a₁=-2，d=4，
即{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=4n-6．
（Ⅱ）∵S_n+S_n+1+S_n+2=6n²-2（n∈N^*）．①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+S_n+S_n+1=6（n-1）²-2（n∈N^*）．②
①-②得a_n-1+a_n+a_n+1=12n-6，（n≥2），
則S₅₀=a₁+a₂+（a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈）+…+（a₄₈+a₄₉+a₅₀）=2+[（12×3-6）+（12×6-6）+…+（12×48-6）]
=2+[36×（1+2+…+16）-6×16]
=2+36×136-96=4802．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及等差數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生運(yùn)算能力．