Question

1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}&{\;}\\{y≥1}&{\;}\\{x+y≤5}&{\;}\end{array}\right.$時(shí)，z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a≥b＞0）的最大值為1，則a+b的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可得$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1$，再由基本不等式求a+b的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤5}\end{array}\right.$作出可行域如圖：

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=5}\end{array}\right.$，解得A（1，4），
化目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a≥b＞0）為$y=-\frac{b}{a}x+bz$，由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{b}{a}x+bz$過(guò)A時(shí)，
目標(biāo)函數(shù)有最大值為$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1$，
∵a≥b＞0，
∴a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$$≥5+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}=9$．
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a，即a=3，b=6時(shí)上式等號(hào)成立．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．