Question

16．已知圓C的圓心在直線3x+y-1=0上，且x軸，y軸被圓C截得的弦長分別為2$\sqrt{5}$，4$\sqrt{2}$，若圓心C位于第四象限
（1）求圓C的方程；
（2）設x軸被圓C截得的弦AB的中心為N，動點P在圓C內且P的坐標滿足關系式（x-1）²-y²=$\frac{5}{2}$，求$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設圓C的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，
根據題意，有$\left\{\begin{array}{l}{^{2}+5={r}^{2}…①}\\{{a}^{2}+8={r}^{2}…②}\\{3a+b-1=0…③}\\{a＞0，b＜0}\end{array}\right.$
由①②③得a=1，⇒b=1-3a=-2，r²=9，即可得圓的方程；
（2）在圓C的方程：（x-1）²+（y+2）²=9中令y=0，得A（1-$\sqrt{5}$，0），B（1+$\sqrt{5}，0$），N（1，0）．
將x-1）²+（y+2）²＜9．（x-1）²-y²=$\frac{5}{2}$代入$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=（1-$\sqrt{5}$-x，-y）（1+$\sqrt{5}$-x，-y）=（x-1）²+y²-5即可求解．

解答 解：（1）設圓C的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，
根據題意，有$\left\{\begin{array}{l}{^{2}+5={r}^{2}…①}\\{{a}^{2}+8={r}^{2}…②}\\{3a+b-1=0…③}\\{a＞0，b＜0}\end{array}\right.$
①-②得b²=a²+3，…④
由③④得4a²-3a-1=0，∵a＞0，解得a=1，⇒b=1-3a=-2，r²=9，
∴圓C的方程為：（x-1）²+（y+2）²=9，
（2）在圓C的方程：（x-1）²+（y+2）²=9中令y=0，
得A（1-$\sqrt{5}$，0），B（1+$\sqrt{5}，0$），∴N（1，0）．
∵動點P（x，y）在圓C內，∴（x-1）²+（y+2）²＜9…①
將①代入（x-1）²-y²=$\frac{5}{2}$得-$\frac{5}{2}$$＜y＜\frac{1}{2}$，0$≤{y}^{2}＜\frac{25}{4}$
$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=（1-$\sqrt{5}$-x，-y）（1+$\sqrt{5}$-x，-y）=（x-1）²+y²-5…②
將（x-1）²-y²=$\frac{5}{2}$代入②得$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=2y²-$\frac{5}{2}$$∈[-\frac{5}{2}，10]$．

點評 本題考查圓的方程，與圓有關的最值問題，屬于中檔題．