Question

6．已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，公比為q（q≠1），證明：S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$．

Answer 1

分析 由${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，得${S}_{n}={a}_{1}+{a}_{1}q+…+{a}_{1}{q}^{n-1}$，利用錯位相減法能證明S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$．

解答 證明：因為${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，…（2分）
所以${S}_{n}={a}_{1}+{a}_{1}q+…+{a}_{1}{q}^{n-1}$，…（4分）
qS_n=${a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+…+{a}_{1}{q}^{n-1}+{a}_{1}{q}^{n}$，…（6分）
所以（1-q）S_n=${a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n}$，…（8分）
當q≠1時，有S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$．  …（10分）

點評 本題考查等比數列的前n項和公式的證明，是基礎題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．