Question

17．已知點(diǎn)P（x，y）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1＜0，}&{\;}\\{2x-y-2＞0，}&{\;}\\{3x-2y+4＞0}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則$\frac{y}{x}$的取值范圍為（1，$\frac{7}{4}$）．

Answer 1

分析 作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的陰影部分．則z=$\frac{y}{x}$，表示直線的斜率，再將點(diǎn)P移動(dòng)，觀察傾斜角的變化即可得到k的最大、最小值，從而得到$\frac{y}{x}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)直線3x-2y+4=0與直線2x-y-2=0交于點(diǎn)A，
可得A（8，14），不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1＜0，}&{\;}\\{2x-y-2＞0，}&{\;}\\{3x-2y+4＞0}&{\;}\\{\;}&{\;}\end{array}\right.$
表示的平面區(qū)域如圖：
則$\frac{y}{x}$的幾何意義是可行域內(nèi)的P（x，y）
與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，
由可行域可得k的最大值為：k_OA=$\frac{7}{4}$，k的最小值k=1．
因此，$\frac{y}{x}$的取值范圍為（1，$\frac{7}{4}$）
故答案為：（1，$\frac{7}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．