Question

16．已知集合M={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{y≥-x-2}\\{x-2y+a≤0}\end{array}\right.$}和集合N={（x，y）|y=sinx，x≥0}，若M∩N≠∅，則實數a的最大值為$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 作出函數y=sinx（x≥0）的圖象，以及不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥-x-2}\\{x-2y+a≤0}\end{array}\right.$表示的可行域，由直線x-2y+a=0與y=sinx相切時，設切點為（m，sinm），求出導數和直線的斜率，解方程可得切點和此時a的值，由圖象可得a的最大值．

解答 解：作出函數y=sinx（x≥0）的圖象，
以及不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≥-x-2}\\{x-2y+a≤0}\end{array}\right.$表示的可行域，
當直線x-2y+a=0與y=sinx相切時，設切點為（m，sinm），
即有cosm=$\frac{1}{2}$，解得m=$\frac{π}{3}$，
切點為（$\frac{π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
可得a=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$，
由題意可得a≤$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$，即有M∩N≠∅，
可得a的最大值為$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查不等式組表示的可行域以及集合的幾何意義，注意運用數形結合的思想方法，以及導數的幾何意義是解題的關鍵，屬于中檔題．