Question

13．已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函數f（x）=logax在區間[a，2a]上的最大值與最小值之差為1．
（1）判斷函數g（x）=1-$\frac{2}{{{a^x}+1}}$的奇偶性；
（2）解不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x-1）＞log${\;}_{\frac{1}{3}}$（a-x）．

Answer 1

分析 （1）根據題意，求出a的值，再判斷函數g（x）的奇偶性；
（2）化不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x-1）＞log${\;}_{\frac{1}{3}}$（a-x）為$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜2-x}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：（1）∵a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，
∴a＞1，
又∵函數f（x）=log_ax在區間[a，2a]上的最大值與最小值之差為1，
∴log_a2a-log_aa=1，
即log_a2=1，解得a=2；
∵函數g（x）的定義域為R，
且g（x）=1-$\frac{2}{{{a^x}+1}}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴g（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1{-2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-g（x），
∴g（x）是定義域R上的奇函數；
（2）不等式log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x-1）＞log${\;}_{\frac{1}{3}}$（a-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜2-x}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜x＜$\frac{3}{2}$，
故所求不等式的解集為（1，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了對數函數的定義與應用問題，也考查了函數的奇偶性和不等式的解法與應用問題，是綜合性題目．