Question

已知S_n是數列{a_n}的前n項和，且a1=

1

2

，

an

an-1

=

n-1

n+1

，則a_n=

 

，S₂₀₁₀=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：利用“累乘求積”與“裂項求和”即可得出．

解答： 解：∵a1=

1

2

，

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•

1

2

=

n-1

n+1

•

n-2

n

•

n-3

n-1

•…•

2

4

×

1

3

×

1

2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴S₂₀₁₀=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2010

-

1

2011

)
=1-

1

2011

=

2010

2011

．
故答案分別為：

1

n(n+1)

，

2010

2011

．

點評：本題考查了“累乘求積”與“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．