Question

己知數{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n+2n，數列{b_n}滿足b_n+1=b_n+

b 2 n

n

，b1=1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令c_n=

1

an+1bn+nan+1-bn-n

，記S_n=c₁+c₂+…+c_n，求證：

1

2

≤Sn＜1．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a_n+1-a_n=2n，由此利用累加法能求出a_n=n²+n+1．
（2）由已知得

1

bn+1

=

n

(n+bn)•bn

=

1

bn

-

1

n+bn

，從而

1

n+bn

=

1

bn

-

1

bn+1

，進而c_n＜

1

2

[（

1

n

-

1

n+1

）-（

1

bn

-

1

bn+1

）]，由此能證明

1

2

≤Sn＜1．

解答： （1）解：∵{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n+2n，
∴a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n
=1+2+4+6+…+2n
=1+2×

n(n+1)

2

=n²+n+1．
（2）證明：∵b_n+1=b_n+

b 2 n

n

，b1=1，
∴bn+1=

nbn+bn2

n

=

(n+bn)•bn

n

，
∴

1

bn+1

=

n

(n+bn)•bn

=

1

bn

-

1

n+bn

，
∴

1

n+bn

=

1

bn

-

1

bn+1

，
∴c_n=

1

an+1bn+nan+1-bn-n

=

1

(an+1-1)(bn+n)

＜

1

2

(

1

an+1-1

+

1

bn+n

)
=

1

2

[

1

n(n+1)

+(

1

bn

-

1

bn+1

)]
=

1

2

[（

1

n

-

1

n+1

）-（

1

bn

-

1

bn+1

）]，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
＜

1

2

[（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）+（

1

b1

-

1

b2

+

1

b2

-

1

b3

+…+

1

bn

-

1

bn+1

）]
=

1

2

[(1-

1

n+1

)+(

1

b1

-

1

bn+1

)]
=

1

2

（2-

1

n+1

-

1

bn+1

）＜1，
又由c_n=

1

an+1bn+nan+1-bn-n

=

1

(an+1-1)(bn+n)

，
得{c_n}是增數列，∴S_n=c₁+c₂+…+c_n≥c₁=

1

a2b1+a2-b1-1

=

1

2

，
∴

1

2

≤Sn＜1．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意累加法和裂項求和法的合理運用．