Question

有下列五個命題：
①在△ABC中，p：A＞B；q：sinA＞sinB；則命題p是命題q的充要條件；
②p：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，q：數(shù)列{a_n}是單調(diào)數(shù)列；命題p是命題q的充要條件；
③P：△ABC是銳角△ABC，q：sinA＞cosB；則命題p是命題q的充要條件；
④α≠

π

6

或β≠

π

6

是cos（α+β）≠

1

2

成立的必要不充分條件；
⑤a＜0是方程ax²+2x+1=0至少有一個負(fù)數(shù)根的充分不必要條件．
其中正確的命題序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①在△ABC中，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，對于q：sinA＞sinB?a＞b?A＞B．即可判斷出．
②p：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，取a_n=1，而不是單調(diào)數(shù)列；q：數(shù)列{a_n}是單調(diào)數(shù)列，取an=

1

n

，而不是等差數(shù)列，即可判斷出．
③對于q：sinA＞cosB=sin(

π

2

-B)，由①可得A＞

π

2

-B，可知△ABC可以不是銳角△ABC，即可判斷出；
④由cos（α+β）≠

1

2

成立，可得α≠

π

6

或β≠

π

6

，而反之不成立，例如取α+β=2π+

π

3

，即可判斷出；
⑤方程ax²+2x+1=0有實數(shù)根，則△≥0或a=0，解得a≤1或a=0，當(dāng)a≠0時，方程的兩個實數(shù)根滿足x1x2=

1

a

，當(dāng)a＜0是方程ax²+2x+1=0至少有一個負(fù)數(shù)根，而a=0，方程的實數(shù)根為-

1

2

．即可判斷出．

解答： 解：①在△ABC中，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，對于q：sinA＞sinB?a＞b?A＞B．因此命題p是命題q的充要條件，正確．
②p：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，取a_n=1，而不是單調(diào)數(shù)列，∴p推不出q；q：數(shù)列{a_n}是單調(diào)數(shù)列，取an=

1

n

，而不是等差數(shù)列；因此命題p是命題q的既不充分也不必要條件，因此不正確．
③對于q：sinA＞cosB=sin(

π

2

-B)，由①可得A＞

π

2

-B，因此△ABC可以不是銳角△ABC；因此命題p是命題q的充要條件不正確；
④由cos（α+β）≠

1

2

成立，可得α≠

π

6

或β≠

π

6

，而反之不成立，例如取α+β=2π+

π

3

，因此α≠

π

6

或β≠

π

6

是cos（α+β）≠

1

2

成立的必要不充分條件；
⑤方程ax²+2x+1=0有實數(shù)根，則△≥0或a=0，解得a≤1或a=0，當(dāng)a≠0時，方程的兩個實數(shù)根滿足x1x2=

1

a

，因此a＜0是方程ax²+2x+1=0至少有一個負(fù)數(shù)根的充分條件；
而a=0，方程的實數(shù)根為-

1

2

．∴a＜0是方程ax²+2x+1=0至少有一個負(fù)數(shù)根的充分不必要條件．正確．
其中正確的命題序號是 ①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點評：本題考查了簡易邏輯的有關(guān)知識、正弦定理的應(yīng)用、三角函數(shù)的單調(diào)性、一元二次由實數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．