Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²（其中a＞0）上任意一點與點P（0，

1

4a

）的距離等于它到直線y=-1的距離．
（I）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點M的坐標為（0，2），N為拋物線上任意一點，是否存在垂直于y軸的直線l，使直線l被以MN為直徑的圓截得的弦長恒為常數？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由拋物線的定義知P（0，

1

4a

）是其焦點，且

1

4a

=1，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）設N（2x，x²），則MN的中點H的坐標為H（x，1+

x2

2

），設直線l的方程為y=c，則點H到直線l的距離為d=|

x2+2

2

-c|，由此能推導出存在垂直于y軸的直線l，使直線l被以MN為直徑的圓截得的弦長恒為常數，直線l的方程為y=1．

解答： 解：（本題滿分14分）
（I）由拋物線的定義知P（0，

1

4a

）是其焦點，且

1

4a

=1，…（3分）
∴a=

1

4

，拋物線方程為y=

1

4

x2．…（4分）
（Ⅱ）設N（2x，x²），則MN的中點H的坐標為H（x，1+

x2

2

），…（6分）
設直線l的方程為y=c，
則點H到直線l的距離為d=|

x2+2

2

-c|，…（7分）
|MN|²=4x²+（x²-2）²=x⁴+4，…（8分）
設所求弦長為L，則L²=|MN|²-4d²=x⁴+4-4（

x2+2

2

-c）²=4x²（c-1）+8c-4c²，…（11分）
若弦長L恒為常數，即L的值與x的值無關，
所以c=1，L=2…（13分）
所以存在垂直于y軸的直線l，使直線l被以MN為直徑的圓截得的弦長恒為常數，
此直線l的方程為y=1．…（14分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．