Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足

BF1

=

F1F2

，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）D是過A、B、F₂三點的圓上的點，D到直線l：x-

3

y-3=0的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，線段MN的中垂線與x軸相交于點P（m，0），求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）連接AF₁，由AB⊥AF₂，BF₁=F₁F₂，得AF₁=F₁F₂，由此能求出橢圓的離心率．
（Ⅱ）由

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a，從而F₂（

1

2

a，0），B（-

3a

2

，0），由D到直線l：x-

3

y-3=0的最大距離等于2a，得圓心到直線的距離為a，由此能求出橢圓方程．
（Ⅲ）由F₂（1，0），得l：y=k（x-1），聯立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此能求出實數m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）連接AF₁，因為AB⊥AF₂，BF₁=F₁F₂，所以AF₁=F₁F₂，
即a=2c，故橢圓的離心率e=

1

2

．
（Ⅱ）由（1）知

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a，
于是F₂（

1

2

a，0），B（-

3a

2

，0），
Rt△ABC的外接圓圓心為F1(-

1

2

a，0)，半徑r=

1

2

|F₂B|=a，
點D到直線l：x-

3

y-3=0的最大距離等于2a，所以圓心到直線的距離為a，
所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，∴c=1，b=

3

，
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知F₂（1，0），l：y=k（x-1），
聯立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵l過點F₂，∴△＞0恒成立，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-6k

3+4k2

，
MN中點（

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

），
當k=0時，MN為長軸，中點為原點，則m=0，
當k≠0時，MN中垂線方程y+

3k

3+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

3+4k2

）．
令y=0，∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
∵

3

k2

＞0，

1

k2

+4＞4，∴0＜m＜

1

4

，
綜上實數m的取值范圍是[0，

1

4

）．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓的方程的求法，考查實數m的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．