Question

設函數f（x）=（x-1）e^x-kx²．
（1）當k=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在x∈[0，+∞）上是增函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當k=1時，f（x）=（x-1）e^x-x²．f′（x）=xe^x-2x=x（e^x-2）．令f′（x）=0，解得x=0或ln2．列表即可得出單調區間．
（2）f′（x）=xe^x-2kx，由于f（x）在x∈[0，+∞）上是增函數，可得f′（x）≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．化簡利用函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）當k=1時，f（x）=（x-1）e^x-x²．
f′（x）=xe^x-2x=x（e^x-2）．
令f′（x）=0，解得x=0或ln2．
列表：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（ln2，+∞），單調遞減區間為（0，ln2）．
（2）f′（x）=xe^x-2kx，
∵f（x）在x∈[0，+∞）上是增函數，
∴f′（x）≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．
當x=0時，f′（x）=0；
當x＞0時，xe^x-2kx≥0，化為k≤

ex

2

．
∴k≤

1

2

．
∴實數k的取值范圍是(-∞，

1

2

]．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．