Question

13．已知P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一個動點，且點P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 橢圓的兩個頂點（±a，0）．設P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{n}{m+a}•\frac{n}{m-a}$=-$\frac{1}{4}$，化簡利用離心率計算公式即可得出．

解答 解：橢圓的兩個頂點（±a，0）．
設P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{n}{m+a}•\frac{n}{m-a}$=-$\frac{1}{4}$，
∴m²=${a}^{2}（1-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}）$，m²-a²+4n²=0，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．