Question

16．已知S_n為等差數列{a_n}的前n項和，且a₄=7，S₄=16．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，依題意，列出關于首項與公差的方程組，解之即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法可得b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，從而可求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，依題意得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+3d=7}\\{4{a_1}+6d=16}\end{array}}\right.$…（2分）
解得：a₁=1，d=2a_n=2n-1…（5分）
（2）由①得${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$…（7分）
∴${T_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$…（11分）
∴${T_n}=\frac{n}{2n+1}$…（12分）

點評 本題考查等差數列的通項公式的求法及數列的求和，突出考查裂項法求和的應用，屬于中檔題．