Question

1．（1）已知命題p：?x∈R，ax²+2x+3≥0是真命題，求實數a的取值范圍；
（2）已知命題q：?x∈[0，π]，使得sinx+cosx=m有解為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p：?x∈R，ax²+2x+3≥0是真命題，則$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4-12a≤0\end{array}\right.$，解得：實數a的取值范圍；
（2）若命題q：?x∈[0，π]，使得sinx+cosx=m有解為真命題，m的范圍即為函數y=sinx+cosx，x∈[0，π]的值域，解得答案．

解答 解：（1）∵命題p：?x∈R，ax²+2x+3≥0是真命題，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4-12a≤0\end{array}\right.$，
解得：a∈[$\frac{1}{3}$，+∞）
（2）∵當x∈[0，π]，y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]
若命題q：?x∈[0，π]，使得sinx+cosx=m有解為真命題，
則m∈[-1，$\sqrt{2}$]

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了全稱命題，特稱命題，函數恒成立問題，函數的值域，難度中檔．