Question

11．已知命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-4x+a）的定義域為R；命題q：函數(shù)g（x）=2^|x-a|在區(qū)間（3，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）若p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）的定義域為R，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，即可求出a的取值范圍；
（2）首先求出命題q為真命題時a的取值范圍，再由條件p∨q為真命題，p∧q為假命題，可知命題p與q必然一真一假，分類討論即可．

解答 解：（1）若p為真命題，則ax²-4x+a＞0對?x∈R恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2；
（2）g（x）=2^|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-a}，x≥a}\\{{2}^{-x+a}，x＜a}\end{array}\right.$，若q為真命題，則a≤3，
又“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，則p，q一真一假，
當p真q假時，則 $\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞3}\end{array}\right.$，故a＞3；
當p假q真時，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≤3}\end{array}\right.$，故a≤2；
綜上可得，a≤2，或a＞3．

點評 本題主要考查復合命題真假關系的應用以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)條件求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．