Question

2．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=BB₁，D是CC₁中點，則CA₁與BD所成角的大小是$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，畫出圖形，通過作平行線得到所求角的平面角，利用余弦定理求大小．

解答 解：如圖過D作DE∥CA₁交A₁C₁于E，
則E是A₁C₁的中點，連接BE，
則∠BDE為CA₁與BD所成角，
設AB=2，則BD=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{2}$，B₁E=$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{{{BB}_{1}}^{2}+{B}_{1}{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
在△BDE中，cos∠BDE=$\frac{{DE}^{2}+{BD}^{2}-{BE}^{2}}{2DE•BD}$=0，
所以∠BDE=$\frac{π}{2}$；
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了正三棱柱的性質以及異面直線所成的角的求法；關鍵是找到平面角，利用余弦定理求值．