Question

13．已知過點P（4，1）的直線l被圓（x-3）²+y²=4所截得的弦長為$2\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 根據圓心與半徑、弦長和弦心距的關系，利用點到直線的距離公式，求出直線的斜率，即可求出對應直線的方程．

解答 解：圓（x-3）²+y²=4的圓心坐標為（3，0），
半徑長為r=2；…（2分）
因為直線l被圓所截得的弦長是$2\sqrt{3}$，
所以弦心距為$\sqrt{{2^2}-{{（\sqrt{3}）}^2}}=1$；…（4分）
（1）當直線l的斜率不存在時，x=4，
此時弦心距為1，符合題意；…（6分）
（2）當直線l的斜率存在時，
設直線l的方程為y-1=k（x-4），
即kx-y-4k+1=0；
由題意可得$\frac{{|{3k-4k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，…（8分）
解得k=0，…（11分）
所以所求直線方程為y=1；
綜上所述，所求直線方程為x=4或y=1．…（12分）

點評 本題考查了直線與圓的方程和應用問題，是綜合性題目．