Question

18．已知函數f（x）=1+a•（$\frac{1}{3}$）^x+（$\frac{1}{9}$）^x．
（1）當a=-2，x∈[1，2]時，求函數f（x）的最大值與最小值；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上都有-2≤f（x）≤3，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 令t=（$\frac{1}{3}$）^x，則y=f（x）=1+at+t²，
（1）當a=-2，x∈[1，2]時，y=f（x）=1-2t+t²，t∈[$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$]，結合二次函數的圖象和性質，可得函數f（x）的最大值與最小值；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上都有-2≤f（x）≤3，y=1+at+t²，在（0，$\frac{1}{3}$]上都有-2≤y≤3，結合二次函數的圖象和性質，可得實數a的取值范圍．

解答 解：令t=（$\frac{1}{3}$）^x，則y=f（x）=1+at+t²，
（1）當a=-2，x∈[1，2]時，y=f（x）=1-2t+t²，t∈[$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$]，
當t=$\frac{1}{9}$，即x=2時，函數f（x）的最大值為$\frac{64}{81}$，
當t=$\frac{1}{3}$，即x=1時，函數f（x）的最小值為$\frac{4}{9}$，
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上都有-2≤f（x）≤3，
則y=1+at+t²，在（0，$\frac{1}{3}$]上都有-2≤y≤3，
由函數y=1+at+t²的圖象是開口朝上，且以直線t=$-\frac{a}{2}$為對稱軸的直線，
故當$-\frac{a}{2}$≤0，即a≥0時，1+$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{9}$≤3，解得：a∈[0，$\frac{17}{3}$]
當0＜$-\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{3}$，即$-\frac{2}{3}$＜a＜0時，$\left\{\begin{array}{l}\frac{4-{a}^{2}}{4}≥-2\\ 1+\frac{1}{3}a+\frac{1}{9}≤3\end{array}\right.$，解得：a∈（$-\frac{2}{3}$，0），
當$-\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{3}$，即a≤$-\frac{2}{3}$時，1+$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{9}$≥-2，解得：a∈[-$\frac{28}{3}$，$-\frac{2}{3}$]
綜相可得a∈[-$\frac{28}{3}$，$\frac{17}{3}$]．

點評 本題考查的知識點是函數的最值，恒成立問題，二次函數的圖象和性質，分類討論思想，難度中檔．