Question

8．在△ABC中，內角A、B、C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，4cos²$\frac{C}{2}$-cosC=$\frac{5}{2}$．
（1）若ab=4，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由二倍角的余弦函數公式化簡已知等式可得cosC=$\frac{1}{2}$，結合范圍0＜C＜π，即可得解C的值為$\frac{π}{3}$，由余弦定理進而可解得a，b的值．
（2）利用三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得sinBcosA=2sinAcosA，分類討論分別求得a，b的值，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵4cos²$\frac{C}{2}$-cosC=$\frac{5}{2}$．
∴由二倍角的余弦函數公式可得：2（cosC+1）-cosC=$\frac{5}{2}$，即：cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$…2分
由余弦定理及已知條件，可得：a²+b²-ab=4，
∵ab=4，聯立解得：a=2，b=2…6分
（2）∵sinC+sin（B-A）=2sin2A，可得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA，
∴當cosA=0時，即A=$\frac{π}{2}$時，B=$\frac{π}{6}$，a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，…8分
當cosA≠0時，可得sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}-ab=4}\\{b=2a}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，…11分
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…12分

點評 本題主要考查了二倍角的余弦函數公式，余弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和分類討論思想，屬于中檔題．