Question

16．已知數列{a_n}是首項為1，公差為2m的等差數列，前n項和為S_n，設b_n=$\frac{{S}_{n}}{n•{2}^{n}}$（n∈N^*），若數列{b_n}是遞減數列，則實數m的取值范圍是[0，1）．

Answer 1

分析 利用求和公式可得S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2m．可得b_n=$\frac{{S}_{n}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{mn+1-m}{{2}^{n}}$，由數列{b_n}是遞減數列，可得b_n+1＜b_n，即可得出．

解答 解：S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2m=mn²+（1-m）n．
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{mn+1-m}{{2}^{n}}$，
∵數列{b_n}是遞減數列，
∴b_n+1＜b_n，∴$\frac{（n+1）m+1-m}{{2}^{n+1}}$＜$\frac{mn+1-m}{{2}^{n}}$，
化為：m（n-2）+1＞0，對于?n∈N^*都成立．
n=1時，m＜1；
n=2時，m∈R；
n＞2時，m$＞\frac{1}{2-n}$，解得m≥0．
綜上可得：m∈[0，1）．
故答案為：[0，1）．

點評 本題考查了等差數列的求和公式、不等式的解法、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．