Question

6．二次函數f（x）滿足且f（0）=0，且對任意x∈R總有f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 f（x）是二次函數，設出解析式，利用待定系數法求解．

解答 解：由題意：f（x）是二次函數，設f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=0，
∴c=0，
則f（x）=ax²+bx，
∵f（x+1）=f（x）+x+1，即a（x+1）²+b（x+1）=ax²+x（b+1）+1
由：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=b+1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
故得f（x）的解析式為：f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+c，

點評 本題考查了函數解析式的求法，利用了利用待定系數法，屬于基礎題．