Question

8．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是①③④⑤（寫出所有正確命題的編號）．
①當$0＜CQ＜\frac{1}{2}$時，S為四邊形；
②當$\frac{3}{4}＜CQ＜1$時，S為六邊形；
③當$CQ=\frac{1}{2}$時，S為等腰梯形；
④當CQ=1時，S的面積為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$； 
⑤當$CQ=\frac{3}{4}$時，S與C₁D₁的交點R滿足${C_1}R=\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 過點A，P，Q的平面必與面ADA₁，BC₁C相交，且交線平行，據此，當Q為C₁C中點時，截面與面ADD₁交與AD₁，為等腰梯形，據此可以對①③進行判斷；
連接AP，延長交DC于一點M，再連接MQ并延長其交D₁D于N，連接AN，可見，截面此時不會與面ABB₁相交，據此判斷②；
當CQ=1時，截面為底為$\sqrt{2}$，腰長為$\frac{\sqrt{5}}{2}$的等腰梯形，由此可求其面積，判斷④；由$CQ=\frac{3}{4}$作出滿足條件的圖形，由線面位置關系找出截面，進一步求得C₁R判斷⑤．

解答 解：連接AP并延長交DC于M，再連接MQ．
當0＜CQ＜$\frac{1}{2}$時，MQ的延長線交線段D₁D與點N，且N在D₁與D之間，連接AN，則截面為四邊形APQN；
特別的當Q為中點即CQ=$\frac{1}{2}$時，N點與D₁重合，此時截面四邊形APQN為等腰梯形，故①，③正確；
當$\frac{3}{4}$＜CQ＜1時，MQ與DD₁延長線相交于一點N，再連接AN，與A₁D₁交于一點，此時截面是五邊形，故②錯誤；
當CQ=1時，MQ交DD₁延長線于N點，且DD₁=D₁N=1，連接AN交A₁D₁于的中點位置，此時，截面四邊形是邊長為$\frac{\sqrt{5}}{2}$的菱形，其對角線長為正方體的對角線長$\sqrt{3}$，另一條對角線長為面對角線長為$\sqrt{2}$，所以s=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故④正確；
當CQ=$\frac{3}{4}$時，如圖，延長DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故⑤正確．
∴正確命題的序號是①③④⑤．
故答案為：①③④⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了截面的性質，關鍵是利用面面平行、面面相交的性質確定截面的頂點，是中檔題．