定義在上的單調(diào)函數(shù)
滿足
,且對(duì)任意
都有
(1)求證:為奇函數(shù);
(2)若對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(1)證明見試題解析;(2).
解析試題分析:(1)這是抽象函數(shù)問題,要證明它是奇函數(shù),當(dāng)然要根據(jù)奇函數(shù)的定義,證明或
,由此在已知式
里設(shè)
,從而有
,因此我們還要先求出
,這個(gè)只要設(shè)
或者有一個(gè)為0即可得
,故可證得
為奇函數(shù);(2)不等式
可以利用
為奇函數(shù)的結(jié)論,變形為
,再利用函數(shù)的單調(diào)性去掉符號(hào)“
”,轉(zhuǎn)化為關(guān)于
的不等式恒成立問題,即
對(duì)任意
成立,這時(shí)還需要用換元法(設(shè)
)變化二次不等式怛成立,當(dāng)然不要忘記
的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)證明:∵ ①
令,代入①式,得
即
令,代入①式,得
,又
則有即
對(duì)任意
成立,
所以是奇函數(shù). 4分
(Ⅱ)解:,即
,又
在
上是單調(diào)函數(shù),
所以在
上是增函數(shù).
又由(1)是奇函數(shù).
,即
對(duì)任意
成立.
令,問題等價(jià)于
對(duì)任意
恒成立. 8分
令其對(duì)稱軸
.
當(dāng)時(shí),即
時(shí),
,符合題意; 10分
當(dāng)時(shí),對(duì)任意
恒成立
解得 12分
綜上所述,對(duì)任意
恒成立時(shí),
實(shí)數(shù)的取值范圍是:
. 13分
考點(diǎn):(1)奇函數(shù)的定義;;(2)不等式恒成立問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知偶函數(shù)滿足:當(dāng)
時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
.
(1)求當(dāng)時(shí),
的表達(dá)式;
(2)試討論:當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí),函數(shù)
有4個(gè)零點(diǎn),且這4個(gè)零點(diǎn)從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
命題p:關(guān)于x的不等式,對(duì)一切
恒成立;命題q:函
是增函數(shù).若p或q為真,p且q為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)=
,
=
,若曲線
和曲線
都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線
.
(Ⅰ)求,
,
,
的值;
(Ⅱ)若時(shí),
≤
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,某生態(tài)園欲把一塊四邊形地辟為水果園,其中
,
,
.若經(jīng)過
上一點(diǎn)
和
上一點(diǎn)
鋪設(shè)一條道路
,且
將四邊形
分成面積相等的兩部分,設(shè)
.
(1)求的關(guān)系式;
(2)如果是灌溉水管的位置,為了省錢,希望它最短,求
的長(zhǎng)的最小值;
(3)如果是參觀路線,希望它最長(zhǎng),那么
的位置在哪里?
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