Question

3．已知實數x，y滿足x²+y²-6x+8y-11=0，則$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值=11，|3x+4y-28|的最小值=5．

Answer 1

分析 化圓的一般方程為標準方程，可得x-3=6cosθ，y+4=6sinθ，分別代入$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$與|3x+4y-28|，然后利用輔助角公式化簡求最值．

解答 解：化方程x²+y²-6x+8y-11=0為（x-3）²+（y+4）²=36．
令x-3=6cosθ，y+4=6sinθ，
則x=3+6cosθ，y=-4+6sinθ，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（3+6cosθ）^{2}+（-4+6sinθ）^{2}}$=$\sqrt{61+60cos（θ+α）}$（tanα=$\frac{4}{3}$）．
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最大值為$\sqrt{121}=11$；
|3x+4y-28|=|9+18cosθ-16+24sinθ-28|=|24sinθ+18cosθ-35|=|30sin（θ+β）-35|（tanβ=$\frac{3}{4}$）．
∴|3x+4y-28|的最小值為|30-35|=5．
故答案為：11，5．

點評 本題考查化圓的一般方程為標準方程，考查圓的參數方程的應用，訓練了利用輔助角公式求三角函數的最值，是中檔題．