Question

13．拋物線y²=4x的焦點為F，斜率為1的直線l過點F，且與拋物線相交于A，B兩點，M是AB中點．
（1）求弦AB的長；
（2）若MH垂直于準線，垂足為H．求∠AHB的度數．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線方程求得拋物線的焦點坐標，進而根據點斜式求得直線的方程與拋物線方程聯立，消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂=的值，進而根據拋物線的定義可知|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p，求得答案．
（2）過A，B做準線的垂線，垂足分別為P，Q，則|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，得出以AB為直徑的圓M與準線相切于H，即可得出結論．

解答 解：（1）拋物線焦點為（1，0），且斜率為1，
則直線方程為y=x-1，代入拋物線方程y²=4x得
x²-6x+1=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=6
根據拋物線的定義可知|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=6+2=8；
（2）過A，B做準線的垂線，垂足分別為P，Q，則|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
∴|AB|=|AF|+|BF|=|AP|+|BQ|，
∵M是AB的中點，
∴|MH|=$\frac{|AP|+|BQ|}{2}$=4，
∴以AB為直徑的圓M與準線相切于H，
∴∠AHB=90°．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系，拋物線的簡單性質．關鍵是：將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系，利用弦長公式即可求得|AB|值，從而解決問題．