Question

4．己知不等式|x一1|≤1的解集為A，關于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}$＜0的解集為B，
（1）當a=1時，求集合A∪B；
（2）若對于任意的實數x₀∈A，都有x₀∈B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由絕對值不等式的解法求出集合A，把a=1代入不等式，由分式不等式、一元二次不等式的解法求出集合B，由并集的運算求出A∪B；
（2）由條件可得A⊆B，將分式不等式轉化后，對a分類討論，分別由子集的定義，求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由|x-1|≤1得-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2，
則集合A=[0，2]，
當a=1時，不等式$\frac{x-a}{x+1}＜0$化為（x+1）（x-1）＜0，
解得-1＜x＜1，則B=（-1，1），
∴A∪B=（-1，2]；
（2）∵對于任意的實數x₀∈A，都有x₀∈B，
∴A⊆B，即[0，2]⊆B，
不等式$\frac{x-a}{x+1}＜0$化為（x+1）（x-a）＜0，
①當a≤-1時，不滿足A⊆B；
②當a＞-1時，集合B=（-1，a），
∵[0，2]⊆（-1，a），∴a＞2，
∴實數a的取值范圍是（2，+∞）．

點評 本題考查絕對值不等式、分式不等式的等價轉化及解法，一元二次不等式的解法，考查分類討論思想，轉化思想，化簡、變形能力．