Question

13．已知正項數列{a_n}滿足a₁=1，$（\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{a_n}）（\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}）=4$，數列{b_n}滿足$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{a_n}$，記{b_n}的前n項和為T_n，則T₂₀的值為2．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4，運用等差數列的通項公式可得$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4n-3，求得b_n=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{4n+1}$-$\sqrt{4n-3}$），運用數列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和．

解答 解：a₁=1，$（\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{a_n}）（\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}）=4$，
可得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=4，
即有$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+4（n-1）=4n-3，
由題意可得a_n=$\frac{1}{\sqrt{4n-3}}$，
$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+\frac{1}{a_n}$=$\frac{4}{\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\frac{4}{\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}}$，
則b_n=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{4n+1}$-$\sqrt{4n-3}$），
則T₂₀=$\frac{1}{4}$（$\sqrt{5}$-1+3-$\sqrt{5}$+$\sqrt{13}$-3+…+9-$\sqrt{77}$）=$\frac{1}{4}$×（9-1）
=2．
故答案為：2．

點評 本題考查數列的求和方法：裂項相消求和，考查等差數列的通項公式的運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．