Question

18．已知{a_n}為等差數列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設{a_n}為公差為d的等差數列，由條件運用等差數列的通項公式可得方程，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項；
（2）求出${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），由數列的求和方法：裂項相消求和，計算即可得到所求和．

解答 解：（1）設{a_n}為公差為d的等差數列，
由a₁+a₃=8，a₂+a₄=12，
可得2a₁+2d=8，2a₁+4d=12，
解得a₁=d=2，
即有a_n=a₁+（n-1）d=2n，n∈N*；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
數列{b_n}的前n項和為$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點評 本題考查等差數列的通項公式的運用，以及數列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎題．