Question

9．已知x、y∈R⁺，且滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=4，則8x+y的取值范圍是$[\frac{9}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 x、y∈R⁺，且滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=4，可得8x+y=$\frac{1}{4}（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$（8x+y）=$\frac{1}{4}$（10+$\frac{16x}{y}+\frac{y}{x}$），利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵x、y∈R⁺，且滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=4，
則8x+y=$\frac{1}{4}（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$（8x+y）=$\frac{1}{4}$（10+$\frac{16x}{y}+\frac{y}{x}$）≥$\frac{1}{4}（10+2\sqrt{\frac{16x}{y}•\frac{y}{x}}）$=$\frac{9}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)y=4x=$\frac{3}{2}$時取等號．
∴8x+y的取值范圍是$[\frac{9}{2}，+∞）$．
故答案為：$[\frac{9}{2}，+∞）$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．