Question

以下四個命題：
①函數f（x）=lnx²-2的零點個數是2個；
②cos²15°-sin²15°=

1

2

；
③一組數據a_i（i=1，2，3…n）的方差為3，則a_i+2（i=1，2，3…n）的方差為5．
④兩個數列{a_n}和{b_n}，滿足b_n=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

（n∈N*），則{b_n}為等差數列的充要條件是為{a_n}等差數列．正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：解方程lnx²-2=0可得到函數f（x）=lnx²-2的零點個數，可判斷①；利用二倍角的余弦公式，可判斷②；根據方差的定義，可判斷③；根據等差數列定義和充要條件的定義可判斷④．

解答： 解：對于①，令f（x）=lnx²-2=0，解得x=±e，即方程lnx²-2=0有兩個根，則函數f（x）=lnx²-2的零點個數是2個，故正確；
對于②，cos²15°-sin²15°=cos30°=

3

2

，故錯誤；
對于③，一組數據a_i（i=1，2，3…n）的方差為3，則a_i+2（i=1，2，3…n）的方差還為3，故錯誤．
對于④，兩個數列{a_n}和{b_n}，滿足b_n=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

（n∈N*），
則b_n=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

，b_n-1=-

a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1

1+2+3+…+(n-1)

，
∴

n(n+1)

2

b_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，

n(n-1)

2

b_n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1，
兩式相減得：

n(n+1)

2

b_n-

n(n-1)

2

b_n-1=na_n，
即

n+1

2

b_n-

n-1

2

b_n-1=a_n，
則

n+2

2

b_n+1-

n

2

b_n=a_n+1，
兩式相減得：a_n+1-a_n=

n+2

2

（b_n+1-b_n）-

n-1

2

（b_n-b_n-1），
若{b_n}的公差為d，則{a_n}為公差為

3

2

d的等差數列．
反之若{a_n}的公差為d，則{b_n}為公差為

2

3

d的等差數列．
故{b_n}為等差數列的充要條件是為{a_n}等差數列．故④正確；
故答案為：①，④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了零點，二倍角公式，方差，充要條件，等差數列的定義等知識點，難度中檔．