Question

求證：橢圓的焦點在切線上的射影的軌跡是以長軸為直徑的圓（除去兩頂點）．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意畫出圖形，連結切點與橢圓兩焦點得到三角形，延長F₁P到A，使|PA|=|PF₂|，連結AF₂，結合過橢圓上一點P的切線平分△PF₁F₂的外角可得F₂在切線上的射影G，由橢圓定義結合三角形中位線知識可得|OG|為定值a，結論得證．

解答： 證明：如圖，
設橢圓的一條切線為PT，切點為P，
連結F₁P并延長到A，使|PA|=|PF₂|，
連結AF₂，
由過橢圓上一點P的切線平分△PF₁F₂的外角可知，
AF₂的中點G即為F₂在切線上的射影，
連結OG，則OG=

1

2

|AF1|=

1

2

×2a=a，
同理有F₁在切線上的射影H滿足|OH|=a．
∴橢圓的焦點在切線上的射影的軌跡是以長軸為直徑的圓（除去兩頂點）．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，證明此題的關鍵在于橢圓定義得運用及三角形中位線的性質，是中檔題．