Question

已知函數f（x），當x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，如果x∈R^*時，f（x）＜0
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并證明你的結論；
（3）若f（x）=-

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，求f（x）在區間[-2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可證明函數y=f（x）是奇函數．
（2）根據抽象函數的表達式，結合函數單調性的定義即可判斷函數y=f（x）的單調性；
（3）由（2）知f（x）為在[-2，6]上為減函數，從而可判斷其最值在端點處取得，再由f（x）=-

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，及已知條件即可得到答案；

解答： 證明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得f（0）=2f（0），
令x=-y，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=f（0）=0．
∴f（-x）=-f（x），
即函數y=f（x）是奇函數．
解：（2）設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，而f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（x₁-x₂）
∵x∈R^*時，f（x）＜0
∴f（x₁-x₂）＜0
∴函數y=f（x）是R上的減函數；
（3）由（2）知f（x）為在[-2，6]上為減函數．
∴f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（x）_min=f（6）=6f（1）=-3．

點評：本題主要考查函數單調性和奇偶性的判斷和證明，考查抽象函數的奇偶性、單調性，考查抽象函數最值的求法，考查學生解決問題的能力．利用抽象函數的對應關系以及定義法是解決本題的關鍵．