Question

已知函數f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1，當0＜a≤

1

2

時，討論函數的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,分類討論,導數的綜合應用

分析：求出導數，并分解因式，討論當a=

1

2

時，0＜a＜

1

2

時，兩根的大小，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間，注意函數的定義域．

解答： 解：f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1的導數為：
f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

=-

ax2-x+(1-a)

x2

=-

(x-1)(ax-1+a)

x2

（x＞0），
由于0＜a≤

1

2

，
則當a=

1

2

時，f′（x）=-

(x-1)2

2x2

＜0，f（x）在x＞0上遞減；
當0＜a＜

1

2

時，1＜

1-a

a

，
由f′（x）＞0解得，1＜x＜

1-a

a

，
由f′（x）＜0解得，0＜x＜1或x＞

1-a

a

，
綜上可得，當a=

1

2

時，f（x）在（0，+∞）上遞減；
當0＜a＜

1

2

時，f（x）在（1，

1-a

a

）上遞增，在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上遞減．

點評：本題考查導數的運用：求單調性，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．