Question

已知數列{a_n}前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n，n∈N^*試歸納猜想出S_n的表達式為（　　）

• A、

  3n

  n+1

• B、

  2n-1

  n+1

• C、

  2n+1

  n+2

• D、

  2n

  n+1

Answer 1

考點：歸納推理

專題：計算題,推理和證明

分析：數列{a_n}中，前n項和為S_n，由a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*），可得S₁；由S₂可得a₂的值，從而得S₂；同理可得S₃，可以猜想：S_n=

2n

n+1

．

解答： 解：在數列{a_n}中，前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*），
∴S₁=a₁=1=

2×1

1+1

；S₂=1+a₂=4a₂，∴a₂=

1

3

，S₂=

4

3

=

2×2

2+1

；
S₃=1+

1

3

+a₃=9a₃，∴a₃=

1

6

，S₃=

3

2

=

2×3

3+1

．
…于是猜想：S_n=

2n

n+1

．
故選D．

點評：本題考查了用遞推公式，通過歸納推理，求數列的前n項和為S_n，需要有一定的計算能力和歸納猜想能力．