Question

已知函數f（x）=cos（2x-

π

3

）-2cos（x+

π

4

）sin（x+

π

4

）
（1）求函數f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸；
（2）求函數f（x）在區間[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用兩角差的余弦公式，誘導公式及二倍角正弦公式將f（x）化為一角一函數形式得出f（x）=sin（2x-

π

6

），即可得到結論．．
（2）先求出2x-

π

6

的范圍，再求出值域．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x-

π

3

）-2cos（x+

π

4

）sin（x+

π

4

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-sin（2x+

π

2

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
最小正周期 T=

2π

2

=π，
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z得圖象的對稱軸方程 x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z．
（2）當x∈[-

π

12

，

π

2

]時，2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
由正弦函數的性質得值域為[-

3

2

，1]．

點評：本題考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力，三角函數的圖象和性質，整體換元的思想方法．