Question

已知 km-2km²-1≤0，當0＜m＜

1

2

時，不等式恒成立．求k的最大值．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：函數的性質及應用

分析：由于二次項的系數為字母k，故需要k分，k=0，k＞0，k＜0三類討論，結合函數的單調性解決．

解答： 解：設f（m）=km-2km²-1=-2km²+km-1
當k=0時，-1＜0恒成立．
當k≠0時，由f（m）的對稱軸是m=

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4

，結合二次函數的圖象可知
當k＞0時，函數f（m）在（0，

1

4

）為增函數，在（

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4

，

1

2

）為減函數，故f（m）_max=f（

1

4

）=

1

4

k-

1

8

k-1≤0，解得0＜k≤8，
當k＜0時，函數f（m）在（0，

1

4

）為減函數，在（

1

4

，

1

2

）為增函數，故f（0）＜-1，f（

1

2

）=-1＜0，．
綜上可得k的取值范圍（-∞，8]．
故k的最大值為8

點評：本題考查二次函數的圖象與性質，對K需要k分，k=0，k＞0，k＜0三類討論，利用函數的單調性解決問題是關鍵，屬于中檔題．