Question

20．關于x方程x²+2x+a=0（a∈R）的兩個根為α、β，且|α|+|β|=3，求實數a的值．

Answer 1

分析 根據韋達定理結合判別式△，通過|α|+|β|=3，列出方程，即可得到結論．

解答 解：判別式△=4-4a=4（1-a），
①若△≥0，即a≤1，則α，β為實根，
則α+β=-2，αβ=a，
則（|α|+|β|）²=α²+β²+2|αβ|=（α+β）²-2αβ+2|αβ|=4-2a+2|a|，
故|α|+|β|=$\sqrt{4-2a+2|a|}$=3．
當a＜0，可得4-4a=9
解得：a=$-\frac{5}{4}$．
當0≤a≤1時，|α|+|β|=2≠3無解；
②若△＜0，即a＞1，則α，β為虛根，α=-1+$\sqrt{a-1}$i，β=-1-$\sqrt{a-1}$i，
故|α|+|β|=2$\sqrt{1+a-1}$=2$\sqrt{a}$=3．解得a=$\frac{9}{4}$．
綜上a的值為：$-\frac{5}{4}$；$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查一元二次方程根與系數的應用，注意要討論判別式△．