Question

3．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}（{x≤0}）\\ \sqrt{x}（{x＞0}）\end{array}\right.$若函數g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一個零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （0，+∞）
• C． （-1，0）
• D． （-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 原問題等價于函數y=f（x），與y=k（x-1）的圖象的圖象只有一個的交點，作出函數的圖象，數形結合可得答案．

解答 解：函數g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一個零點，
∴f（x）-k（x-1）=0，
即：f（x）=k（x-1），
分別畫出y=f（x），與y=k（x-1）的圖象，如圖所示：
而y=k（x-1）的圖象恒過點（1，0），
當過點B時此時k=-1，有兩個交點，
結合圖象可得當k＜-1或x＞0時，函數g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一個零點，
故選：D

點評 本題考查函數的零點，轉化為兩函數圖象的交點是解決問題的關鍵，屬中檔題．