Question

設函數f（x）=|2x-1|-|x+2|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若關于x的不等式f（x）≥t²-3t在[0，1]上無解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：（1）通過對x范圍的分類討論，去掉絕對值符號，可得f（x）=

x-3，x≥ 1 2 -3x-1，-2≤x＜ 1 2 3-x，x＜-2

，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；
（2）當x∈[0，1]時，易求f（x）_max=-1，從而解不等式t²-3t＞-1即可求得實數t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x-3，x≥ 1 2 -3x-1，-2≤x＜ 1 2 3-x，x＜-2

，
∴原不等式轉化為

x≥ 1 2 x-3≥3

或

-2≤x＜ 1 2 -3x-1≥3

或

x＜-2 3-x≥3

，
解得：x≥6或-2≤x≤-

4

3

或x＜-2，
∴原不等式的解集為：（-∞，-

4

3

]∪[6，+∞）；
（2）只要f（x）_max＜t²-3t，
由（1）知，當x∈[0，1]時，f（x）_max=-1，
∴t²-3t＞-1，
解得：t＞

3+ 5

2

或t＜

3- 5

2

．
∴實數t的取值范圍為（-∞，

3- 5

2

）∪（

3+ 5

2

，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，通過對x范圍的分類討論，去掉絕對值符號是關鍵，考查轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．