Question

16．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，M為PB中點．
（1）證明：CM∥平面PAD；
（2）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點N，連結MN，CN，推導出平面MNC∥平面PAD，由此能證明CM∥平面PAD．
（2）以A為原點，AD，AB，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-MC-B的余弦值．

解答 證明：（1）取AB中點N，連結MN，CN，
∵四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，
∠DAB=90°，
PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，
M為PB中點，
∴MN∥PA，CN∥AD，
∵MN∩CN=N，PA∩AD=A，MN，
CN?平面MNC，PA，AD?平面PAD，
∴平面MNC∥平面PAD，
∵CM?平面MNC，∴CM∥平面PAD．
解：（2）以A為原點，AD，AB，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{MC}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{MA}$=（0，-1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{MB}$=（0，1，-$\frac{1}{2}$），
設平面AMC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MA}=-y-\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=x-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
設平面BMC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MB}=b-\frac{1}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MC}=a-\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=2，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
設二面角A-MC-B的平面角為θ，
則cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=-$\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴二面角A-MC-B的余弦值為-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．