Question

11．函數f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1+2（x∈[-2，1]）的值域是（　　）

• A． （$\frac{5}{4}$，10]
• B． [1，10]
• C． [1，$\frac{5}{4}$]
• D． [$\frac{5}{4}$，10]

Answer 1

分析 令t=（$\frac{1}{2}$）^x（x∈[-2，1]），則t∈[$\frac{1}{2}$，4]，f（x）=g（t）=t²-2t+2（t∈[$\frac{1}{2}$，4]），結合二次函數的圖象和性質，求出函數的最值，進而可得函數的值域．

解答 解：令t=（$\frac{1}{2}$）^x（x∈[-2，1]），
則t∈[$\frac{1}{2}$，4]，
f（x）=g（t）=t²-2t+2（t∈[$\frac{1}{2}$，4]），
由g（t）=t²-2t+2的圖象是開口朝上，且以直線t=1為對稱軸的拋物線，
故當t=1時，函數取最小值1，
當t=4時，函數取最大值10，
故函數的值域為[1，10]，
故選：B

點評 本題考查的知識點是函數的最值，函數的值域，二次函數的圖象和性質，難度中檔．